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Tree Recovery

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(or POJ 3468)

题目描述

You have N integers, A1, A2, … , AN. You need to deal with two kinds of operations. One type of operation is to add some given number to each number in a given interval. The other is to ask for the sum of numbers in a given interval.

输入描述:

The first line contains two numbers N and Q. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.
The second line contains N numbers, the initial values of A1, A2, … , AN. -1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000.
Each of the next Q lines represents an operation.
“C a b c” means adding c to each of Aa, Aa+1, … , Ab. -10000 ≤ c ≤ 10000.
“Q a b” means querying the sum of Aa, Aa+1, … , Ab.

输出描述:

You need to answer all Q commands in order. One answer in a line.

示例1

输入

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

输出

4
55
9
15

思路

树状数组区间更新和查询的应用。
数字的个数与查询次数范围均为 1e5 ,显然不能暴力。可以用另外两个数组来记录每次更新的值。

首先,更新操作update(s, t, d)把区间A[s]…A[t]都增加d,我们引入一个数组delta[i],表示A[i]…A[n]的共同增量,n是数组的大小。那么update操作可以转化为:
1)令delta[s] = delta[s] + d,表示将A[s]…A[n]同时增加d,但这样A[t+1]…A[n]就多加了d,所以
2)再令delta[t+1] = delta[t+1] – d,表示将A[t+1]…A[n]同时减d,然后来看查询操作query(s, t),求A[s]…A[t]的区间和,转化为求前缀和,设sum[i] = A[1]+…+A[i]

A[s]+…+A[t] = sum[t] – sum[s-1]
那么前缀和sum[x]又如何求呢?它由两部分组成,一是数组的原始和,二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始值保存在数组org中,并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i](x+1-i)
那么
sum[x] = org[1]+…+org[x] + delta[1]
x + delta[2](x-1) + delta[3](x-2)+…+delta[x]1=org[1]+…+org[x] + segma(delta[i](x+1-i))=segma(org[i]) +(x+1)segma(delta[i])-segma(delta[i]i),1 <= i <= x
这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]i的前缀和,org[i]的前缀和保持不变,事先就可以求出来,delta[i]和delta[i]i的前缀和是不断变化的,可以用两个树状数组来维护。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100010

int A[maxn],n,q;
long long delta[maxn]={0},delta_i[maxn]={0},sum[maxn]={0};

long long getsum(long long *t,int i)
{
    long long res = 0;
    for (;i;i -= i&(-i))
        res += t[i];
    return res;
}
void update(long long *t,int i,long long x)
{
    for(;i<=n;i += i&(-i))
        t[i] += x;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&A[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+A[i];

    while(q--)
    {
        char s;
        int a,b;
        long long ans=0;
        getchar();
        s=getchar();
        if(s=='Q')
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            ans = sum[b]-sum[a-1];
            ans += (b+1)*getsum(delta,b) - a*getsum(delta,a-1);
            ans -= getsum(delta_i,b) - getsum(delta_i,a-1);
            printf("%lld\n",ans);  
        }
        else
        {
            int c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            update(delta,a,c);
            update(delta,b+1,-c);
            update(delta_i,a,a*c);
            update(delta_i,b+1,-(b+1)*c);
        }
    }
    return 0;
}

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